torch.linalg.qr¶

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)¶

计算矩阵的 QR 分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，矩阵 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的完全 QR 分解定义为

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}

其中 $Q$ 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的，而 $R$ 是上三角矩阵，并且对角线上的元素是实数（即使在复数情况下也是如此）。

当 m > n（高矩阵）时，由于 R 是上三角矩阵，其最后 m - n 行是零。在这种情况下，我们可以删除 Q 的最后 m - n 列，以形成简化 QR 分解：

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}

当 n >= m（宽矩阵）时，简化 QR 分解与完全 QR 分解一致。

支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批，则输出具有相同的批维度。

参数 mode 在完全 QR 分解和简化 QR 分解之间进行选择。如果 A 的形状为(*, m, n)，则 k=min(m, n)

mode = ‘reduced’（默认）：返回形状分别为(*, m, k)和(*, k, n)的(Q, R)。它总是可微分的。
mode = ‘complete’：返回形状分别为(*, m, m)和(*, m, n)的(Q, R)。当 m <= n 时，它是可微分的。
mode = ‘r’：仅计算简化 R。返回(Q, R)中 Q 为空，R 的形状为(*, k, n)。它从不具有可微性。

与 numpy.linalg.qr 的区别：

mode = ‘raw’尚未实现。
与 numpy.linalg.qr 不同，此函数总是返回两个张量的元组。当 mode = ‘r’时，Q 张量是一个空张量。

警告

R 矩阵对角线上的元素不一定为正。因此，返回的 QR 分解仅在对角线符号上唯一。因此，不同的平台，如 NumPy，或不同设备上的输入，可能会产生不同的有效分解。

警告

QR 分解仅在 A 中每个矩阵的前 k = min(m, n)列线性无关时才有意义。如果这个条件不满足，不会抛出错误，但生成的 QR 可能不正确，其自动微分可能会失败或产生错误结果。

参数:

A（张量）- 形状为(*, m, n)的张量，其中*表示零个或多个批处理维度。
模式（str，可选）- 'reduced'、'complete'、'r'之一。控制返回张量的形状。默认：'reduced'。

关键字参数:

out (元组，可选) – 两个张量的输出元组。如果为 None，则忽略。默认：None。

返回值:

命名元组（Q，R）。

示例：

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)

torch.linalg.qr¶

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