torch.linalg.eigh

torch.linalg.eigh(A, UPLO='L', *, out=None)

计算复数厄米或实对称矩阵的特征值分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，复数厄米矩阵或实对称矩阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的特征值分解定义为

$$A = Q \operatorname{diag}(\Lambda) Q^{\text{H}}\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{R}^n}$$

其中，当 $Q$ 为复数时， $Q^{\text{H}}$ 是共轭转置，当 $Q$ 为实数时， $Q^{\text{H}}$ 是转置。在实数情况下 $Q$ 是正交的，在复数情况下是酉的。

支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批，则输出具有相同的批维度。

假设 A 是厄米（或对称）的，但内部不进行检查，而是：

• 如果 UPLO = ‘L’（默认），则只使用矩阵的下三角部分进行计算。

• 如果 UPLO = ‘U’，则只使用矩阵的上三角部分。

特征值按升序返回。

注意

当输入在 CUDA 设备上时，此函数将同步该设备与 CPU。

注意

实对称矩阵或复 Hermitian 矩阵的特征值总是实数。

警告

对称矩阵的特征向量不是唯一的，也不是连续的。由于这种非唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由于在实数情况下将特征向量乘以-1 或在复数情况下乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生矩阵的另一组有效特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为该量没有明确定义。在计算该函数的梯度时，会检查复数输入。因此，当输入是复数且位于 CUDA 设备上时，该函数梯度的计算将同步该设备与 CPU。

警告

使用特征向量张量计算出的梯度只有在 A 具有不同的特征值时才是有限的。此外，如果任何两个特征值之间的距离接近于零，梯度将数值不稳定，因为它依赖于通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 的特征值 $\lambda_i$ 。

警告

用户在 CUDA 版本低于 12.1 更新 1 的 CUDA 设备上运行 eigh 时，如果输入的是大型病态矩阵，可能会看到 PyTorch 崩溃。请参阅线性代数数值稳定性以获取更多详细信息。如果出现这种情况，用户可以（1）调整矩阵输入以减少病态性，或者（2）使用 torch.backends.cuda.preferred_linalg_library() 尝试其他支持的后端。

参见

torch.linalg.eigvalsh() 仅计算厄米矩阵的特征值。与 torch.linalg.eigh() 不同， eigvalsh() 的梯度始终是数值稳定的。

torch.linalg.cholesky() 用于厄米矩阵的不同分解。Cholesky 分解提供了关于矩阵的较少信息，但比特征值分解计算速度快得多。

torch.linalg.eig() 用于计算非必要厄米方阵特征值分解的（较慢）函数。

torch.linalg.svd() 用于计算矩阵（形状为*，n，n）的更通用 SVD 分解的（较慢）函数，其中*为零个或多个批处理维度，包含对称或厄米矩阵。

torch.linalg.qr() 用于另一种（更快）的分解，适用于一般矩阵。

参数:

• A（张量）- 形状为(*, n, n)的张量，其中*为零个或多个批处理维度，包含对称或厄米矩阵。

• UPLO（'L', 'U'，可选）- 控制是否在计算中使用 A 的上三角或下三角部分。默认：'L'。

关键字参数:

out (元组，可选) – 两个张量的输出元组。如果为 None，则忽略。默认：None。

返回值:

一个命名元组（特征值，特征向量），对应于上面的 $\Lambda$ 和 $Q$ 。

特征值始终为实数，即使 A 是复数。它还将按升序排列。

特征向量将与 A 具有相同的 dtype，并将包含特征向量作为其列。

示例::

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A = A + A.T.conj()  # creates a Hermitian matrix
>>> A
tensor([[2.9228+0.0000j, 0.2029-0.0862j],
        [0.2029+0.0862j, 0.3464+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> L
tensor([0.3277, 2.9415], dtype=torch.float64)
>>> Q
tensor([[-0.0846+-0.0000j, -0.9964+0.0000j],
        [ 0.9170+0.3898j, -0.0779-0.0331j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag(L.cdouble()) @ Q.T.conj(), A)
tensor(6.1062e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> A = A + A.mT  # creates a batch of symmetric matrices
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag_embed(L) @ Q.mH, A)
tensor(1.5423e-15, dtype=torch.float64)