torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

计算存在时平方矩阵的特征值分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，则一个方阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ （如果存在）的特征值分解定义为

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

这种分解存在当且仅当 $A$ 可对角化。当所有特征值都不同时，这种情况成立。

支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批，则输出具有相同的批维度。

返回的特征值不一定保证有特定的顺序。

注意

实矩阵的特征值和特征向量可能是复数。

注意

当输入位于 CUDA 设备上时，此函数将同步该设备与 CPU。

警告

此函数假设 A 是可对角化的（例如，当所有特征值都不同时）。如果它不可对角化，则返回的特征值将是正确的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$ 。

警告

返回的特征向量被归一化，使其范数为 1。即使如此，矩阵的特征向量也不是唯一的，它们与 A 也不连续。由于这种缺乏唯一性，不同的硬件和软件可能计算不同的特征向量。

这种非唯一性是由将特征向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 产生另一组矩阵的有效特征向量这一事实造成的。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为该量没有明确定义。在计算此函数的梯度时，会检查这一点。因此，当输入位于 CUDA 设备上时，此函数梯度的计算将同步该设备与 CPU。

警告

使用特征向量张量计算出的梯度仅在 A 具有不同的特征值时才是有限的。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，梯度将因依赖于计算 $\lambda_i$ 的特征值而出现数值不稳定性。

参见

torch.linalg.eigvals() 仅计算特征值。与 torch.linalg.eig() 不同， eigvals() 的梯度始终是数值稳定的。

torch.linalg.eigh() 用于计算厄米矩阵和对称矩阵的特征值分解的（更快）函数。

torch.linalg.svd() 用于计算适用于任何形状矩阵的另一种类型的谱分解的函数。

另一种（速度更快）的分解方法，适用于任何形状的矩阵。

参数:

A（张量）- 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 为零个或多个批处理维度，包含可对角化的矩阵。

关键字参数:

out（元组，可选）- 两个张量的输出元组。如果为 None，则忽略。默认：None。

返回值:

与 $\Lambda$ 和 $V$ 对应的命名元组（特征值，特征向量）。

特征值和特征向量始终是复数值，即使当 A 是实数时也是如此。特征向量将由特征向量的列给出。

示例：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)